代数 (符号计算) #

math.js 内置支持符号计算 (CAS)。它可以将表达式解析为表达式树，并对树执行简化和求导等代数运算。

值得一提的是 math.js 的一个优秀扩展：mathsteps，这是一个专注于教学（如何更好地教学）的循序渐进的数学解算器库。它侧重的数学问题是预代数和代数问题，涉及简化表达式。

简化 #

函数 math.simplify 简化表达式树

// simplify an expression
console.log(math.simplify('3 + 2 / 4').toString())              // '7 / 2'
console.log(math.simplify('2x + 3x').toString())                // '5 * x'
console.log(math.simplify('x^2 + x + 3 + x^2').toString())      // '2 * x ^ 2 + x + 3'
console.log(math.simplify('x * y * -x / (x ^ 2)').toString())   // '-y'

该函数接受字符串或表达式树（Node）作为输入，并输出一个简化的表达式树（Node）。此节点树可以按照表达式树页面的详细说明进行转换和求值。

// work with an expression tree, evaluate results
const f = math.parse('2x + x')
const simplified = math.simplify(f)
console.log(simplified.toString())       // '3 * x'
console.log(simplified.evaluate({x: 4})) // 12

在其执行的其他操作中，在表达式上调用 simplify() 会将任何具有运算符等效项的函数转换为其运算符形式。

console.log(math.simplify('multiply(x,3)').toString)  // '3 * x'

请注意，simplify 有一个可选参数 scope，它允许指定表达式中变量的定义（作为数值或进一步的表达式）并在简化中使用。例如，继续之前的示例，

console.log(math.simplify(f, {x: 4}).toString()) // 12
console.log(math.simplify(f, {x: math.parse('y+z')}).toString()) // '3*(y+z)'

总的来说，简化是一个固有困难的问题；事实上，对于某些类别的表达式和代数等价性，无法判断给定表达式是否等价于零。此外，简化通常取决于所涉及运算的性质；由于乘法（例如）根据考虑的域可能具有不同的性质（例如，它可能可以交换，也可能不可以交换），因此可能适用不同的简化。

因此，simplify() 有一个额外的可选参数 options，它控制其行为。此参数是一个对象，用于指定关于简化过程的各种属性。有关完整列表，请参阅详细文档，但目前最重要的两个属性如下。请注意，只有当 scope 也存在时，才能指定 options 参数。

exactFractions - 一个布尔值，指定非整数数值常数在可能时是否应简化为有理数（true），或者始终转换为十进制表示法（false）。
context - 一个对象，其键是运算的名称（“add”、“multiply”等），其值指定相应运算的代数属性（目前可以是“total”、“trivial”、“commutative”和“associative”）。只有当所依赖的属性在给定上下文中为 true 时，才会执行简化。例如，
```
const expr = math.parse('x*y-y*x')
console.log(math.simplify(expr).toString())  // 0; * is commutative by default
console.log(math.simplify(expr, {}, {context: {multiply: {commutative: false}}}))
// 'x*y-y*x'; the order of the right multiplication can't be reversed.
```

请注意，默认上下文非常宽松（允许许多简化），但也存在 math.simplify.realContext，它只允许保证在所有实数上保留表达式值的简化。

const rational = math.parse('(x-1)*x/(x-1)')
console.log(math.simplify(expr, {}, {context: math.simplify.realContext})
  // '(x-1)*x/(x-1)'; canceling the 'x-1' makes the expression defined at 1

有关表达式简化理论的更多详细信息，请参阅

求导 #

函数 math.derivative 查找表达式的符号导数

// calculate a derivative
console.log(math.derivative('2x^2 + 3x + 4', 'x').toString())   // '4 * x + 3'
console.log(math.derivative('sin(2x)', 'x').toString())         // '2 * cos(2 * x)'

与函数 math.simplify 类似，math.derivative 接受字符串或表达式树（Node）作为输入，并输出一个简化的表达式树（Node）。

// work with an expression tree, evaluate results
const h = math.parse('x^2 + x')
const x = math.parse('x')
const dh = math.derivative(h, x)
console.log(dh.toString())        // '2 * x + 1'
console.log(dh.evaluate({x: 3}))  // '7'

由 math.derivative 使用的规则可以在 Wikipedia 上找到。

求导规则 (Wikipedia)

有理化 #

函数 math.rationalize 将可有理化表达式转换为有理分数。如果分数是一个单变量多项式，则将其分子和分母转换为标准形式，指数递减，并返回分子系数。

math.rationalize('2x/y - y/(x+1)')
              // (2*x^2-y^2+2*x)/(x*y+y)
math.rationalize('(2x+1)^6')
              // 64*x^6+192*x^5+240*x^4+160*x^3+60*x^2+12*x+1
math.rationalize('2x/( (2x-1) / (3x+2) ) - 5x/ ( (3x+4) / (2x^2-5) ) + 3')
              // -20*x^4+28*x^3+104*x^2+6*x-12)/(6*x^2+5*x-4)

math.rationalize('x+x+x+y',{y:1}) // 3*x+1
math.rationalize('x+x+x+y',{})    // 3*x+y

const ret = math.rationalize('x+x+x+y',{},true)
              // ret.expression=3*x+y, ret.variables = ["x","y"]
const ret = math.rationalize('-2+5x^2',{},true)
              // ret.expression=5*x^2-2, ret.variables = ["x"], ret.coefficients=[-2,0,5]